Ви вже навчилися ділити натуральні числа та десяткові дроби. Згадайте, чи завжди натуральні числа діляться націло? Поки ви не знали про десяткові дроби, ви ділили з остачею. Наприклад, 21:3=7;  20:3=6(ост. 2).

Якщо число а ділиться на якесь число b без остачі, то кажуть, що число b є дільником числа а. Наприклад, дільниками числа 20 є такі числа: 1, 2, 4, 5, 10, 20; а дільниками числа 15 є числа: 1, 3, 5, 15.

Нехай на столі лежать коробки, в кожній з яких знаходиться 12 олівців. Не розкриваючи коробок, можна взяти 12 олівців, 24 олівці, 36 олівців, а от 16 олівців узяти не можна. Кажуть, що числа 12, 24, 36 кратні числу 12, а число 16 не кратне числу 12.

Натуральне число, яке ділиться на деяке число а, називається кратним числу а. Кожне число має нескінченну кількість кратних. Приведемо декілька кратних для числа 5: 5, 15, 125, 360 і тому подібне.

Приклад 1. Назви ті пари чисел, у яких перше число є дільником другого: 1) 4 і 16;   2) 12 і 3;   3) 5 і 16;   4) 8 і 128.

            Розв’язання.

1)     16 : 4 = 4 – 4 є дільником числа 16

2)     3 : 12 = 0,25 – 12 не є дільником числа 3

3)     16 : 5 = 3,2 – 5 не є дільником числа 16

4)     128 : 8 = 16 – 8 є дільником числа 128.

            Відповідь: у першій і четвертій парі чисел перше число є дільником другого.

Приклад 2. Назви пари чисел, у яких перше число кратне другому:

1)     125 і 5;  2) 144 і 15;  3) 156 і 4;  4) 28 і 8.

Розв’язання.

1)     125 : 5 = 25 – 125 кратне 5

2)     144 : 15 = 9,6 – 144 не кратне 15

3)     156 : 4 = 39 – 156 кратне 4

4)     28 : 8 = 3,5 – 28 не кратне 8

Відповідь: у першій та третій парі чисел перше число кратне другому.

           Припустимо, що треба дізнатися, чи ділиться число 137 146 на 5. Для цього можна виконати ділення й одержати відповідь на поставлене запитання. Але відповідь можна знайти значно простіше, не виконуючи ділення, за допомогою ознак подільності. Розглянемо деякі з них.

Згадайте, будь ласка, як множити та ділити натуральне число на 10. Наприклад, 123 * 10 = 1230; 45600 : 10 = 4560. Тобто, щоб поділити число, яке закінчується однією чи кількома нулями, на 10, достатньо відкинути останню цифру 0 із запису. Отже, маємо ознаку подільності на 10.

          На 5 діляться лише числа, що кратні числу 5, тобто числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Останньою цифрою кожного з цих чисел є або 0, або 5. Тому маємо ознаку подільності на 5.

         На 2 діляться лише числа, що кратні числу 2, тобто числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Запис чисел, кратних числу 2, закінчується однією з цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Ці цифри називають парними цифрами. Решту цифр, тобто 1, 3, 5, 7, 9, називають непарними цифрами. Отже, маємо ознаку подільності на 2:

        Натуральні числа, які діляться на 2, називають парними числами, усі інші натуральні числа — непарними.

Наприклад, числа 86, 104, 510, 78, 1112 — парні, а 87, 113, 2001, 405, 9999 — непарні.

Приклад 1. Серед чисел 1234, 6573, 38755, 27860, 300, 576, 27565 назвіть числа, які діляться на 2; на 5; на 10.

Розв’язання.

Число 1234 закінчується на цифру 4, отже, число 1234 ділиться на 2.

Число 6573 закінчується цифрою 3, отже число 6573 не ділиться 2, на 5, на 10.

Число 38755 закінчується цифрою 5, отже число 38755 ділиться на 5.

Число 27860 закінчується цифрою 0, отже число 27860 ділиться на 2, на 10 і на 5.

Число 300 закінчується цифрою 0, отже число 300 ділиться на 2, на 10 і на 5.

Число 576 закінчується цифрою 6, отже число 576 ділиться на 2.

Число 27565 закінчується цифрою 5, отже число 27565 ділиться на 5.

Відповідь: на 2 діляться числа: 1234, 27860, 300, 576;

                   на 5 діляться числа: 38755, 27860, 300, 27565;

                   на 10 діляться числа: 27860, 300.

Приклад 2. Запишіть значення а, при яких нерівність 166< a <198 буде правильною і які кратні числу 5.

Розв’язання.

Значення а повинні бути більші за 166 і менші за 198. При цьому остання цифра повинна бути 5 або 0. Отже, значення а можуть бути наступними: 170, 175, 180, 185, 190, 195.

Відповідь: значеннями числа а можуть бути наступні числа: 170, 175, 180, 185, 190, 195.

         Згадайте таблицю множення на 3 та на 9. На які цифри закінчуються ці числа?

         Очевидно, що за останньою цифрою ознаки ділення на 3 та на 9 сформулювати не можна.

         Знайдемо суму цифр кожного з кількох чисел, які діляться на 9, і суму цифр кожного з кількох чисел, які не діляться на 9. Результати подамо у вигляді таблиці (див. с. 12) та з’ясуємо, як пов’язана подільність самого числа на 9 із подільністю суми його цифр на 9.

Сформулюємо ознаку подільності на 9:

Подібною до цієї ознаки є ознака подільності на 3:

Приклад 1. З’ясуйте, чи ділиться числа 5457, 3969, 2675 на 3; на 9.

Розв’язання.

Розглянемо число 5457.

5+4+5+7 = 21.

Число 21 ділиться на 3, але не ділиться на 9. Отже число 5457 ділиться на 3 і не ділиться на 9.

Розглянемо число 3936.

3+9+6+9 = 27.

Число 27 ділиться і на 3, і на 9. Отже, число 3969 ділиться на 3 і на 9.

Розглянемо число 2675.

2+6+7+5 = 20.

Число 20 не ділиться на 3 і не ділиться на 9. Отже, число 2675 не ділиться ані на 3, ані на 9.

Відповідь: число 5457 ділиться на 3; число 3969 ділиться на 3 і на 9; число 2675 не ділиться ані на 3, ані на 9.